Апории относительно движения

Аргументы о движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множества подтверждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям очевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргументов. Филопон и Фемистий тоже лишь повторяют аристотелевские суждения. 

 Апория «Дихотомия»

Формулировка апории.

Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1, А2, …, Аn, …; значит, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути, затем до середины остатка пути и так далее.

Соображения античных математиков.

Гегель дает следующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением… Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается, движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта».

Аналогичные соображения можно найти и у Аристотеля. Гегель справедливо отмечает, что уже Аристотель наметил правильный путь решения данной апории Зенона, обратив внимание на то, что пространство и время не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. На эту важную мысль Аристотеля обратил внимание В. И. Ленин, конспектируя «Историю философии» Гегеля: «Движущийся к цели должен сначала пройти половину пути к ней. А от этой половины сначала её половину и так далее без конца.

Аристотель ответил: пространство и время бесконечно делимы (в возможности)… но не бесконечно разделены (в действительности)…»

Развивая идею Аристотеля о непрерывности как непрерывной делимости, а не актуализированной разделенности, Гегель писал: «Делимость как возможность есть всеобщее, в ней положены как непрерывность, так и отрицательность, или точка, но положены как моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть, рассматривает делимость как возможность деления.

Логическая несостоятельность вывода Зенона.

Один из математических вопросов, связанных с данной апорией, состоит в следующем: допустимо ли пользоваться актуальной бесконечностью, допустимо ли, например, рассматривать весь натуральный ряд уже построенным и ввести некоторое новое, трансфинитное число, следующее за всеми натуральными?

Теория множеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот вопрос положительно. Кантор определяет порядковые трансфинитные числа. Если воспользоваться ими, можно сказать, что точка М достигает А1 в момент t1, А2 — в момент t2, …, Аn — в момент tn, а точка В — в момент tω, где ω – первое число, следующее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр с помощью точно такой же конструкции ввел первый трансфинит ω, который и является порядковым типом множества натуральных чисел. Однако с введением теории множеств затруднения, связанные с актуальной бесконечностью, вовсе не были преодолены. Они приняли только другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теории множеств. В одном из них, так называемом парадоксе Бурали-Форти, рассматривается порядковый тип множества всех порядковых типов. Приписывание ему порядкового номера приводит к противоречию. В настоящее время существует точка зрения, согласно которой свободное оперируемое с актуально бесконечными множествами, даже счетными, неправомерно.