О турбулентности

В предыдущих пунктах нами рассмотрены возможности методов перенормировки при создании теории турбулентности. Теперь мы сделаем попытку оценить успешность этих теорий. Фактически это означает, что мы хотим сравнить их предсказания с результатами, полученными из эксперимента. А под экспериментами будем подразумевать не только течения жидкости в лабораторных условиях или в естественных природных условиях, но также результаты прямого численного моделирования уравнений Навье Стокса на компьютерах.

Можно заметить здесь, что экспериментальная ситуация далека от удовлетворительной. Точность получаемых данных в этой области значительно меньше, чем в других сопоставимых областях физики твердого тела. Как мы уже указывали, отдельные экспериментальные измерения колмогоровской спектральной постоянной могут быть сделаны с тремя значащими цифрами, но неопределенность возникает при сравнении результатов различных авторов. Фактически экспериментальная область значений этой константы определяется неравенством 1,20 £ a £ 2,20, хотя многие исследователи сходятся на значении a » 1,5. (При этом существование закона « 5/3» сомнения не вызывает.)

Мы только слегка затронем здесь вопросы сравнения. Более подробное рассмотрение приведено в работе [МакКомб, 1990]. Кроме того, поскольку общая методология и даже цели RPT и RG теорий отличаются очень сильно, будем проводить сравнения для них отдельно.

Все RPT теории являются отрезками второго порядка перенормированных пертурбативных разложений. Существование перенормировки устраняет одну неопределенность, а именно: неперенормированное примитивное пертурбативное разложение, как оказывается, перестает действовать уже в низших порядках. Как мы видели ранее, такие разложения являются сильно расходящимися по причине комбинаторного эффекта (число членов возрастает очень быстро с порядком итераций), а также потому, что эффективным параметром разложения является число Рейнольдса, которое очень велико. К сожалению, перенормировка не добавляет определенности, а только вселяет надежду, что обрыв ряда на втором порядке может служить, в некотором смысле, хорошей аппроксимацией к реально протекающим физическим процессам.

Сказав так, мы возвращаемся к положительным результатам, заметив прежде, что все рассмотренные теории воспроизводят исходные симметрии уравнений Навье Стокса в том смысле, что они сохраняют энергию и импульс. По этой причине будем различать их по тому, насколько правильно они описывают поведение в инерционной области. Надо подчеркнуть здесь, что эти теории, по размерности, совместимы с колмогоровским спектром [Эдвардс, 1965], но те теории, которые здесь отнесены к RPT теориям первого рода, дают в функции отклика расходящийся в пределе бесконечных чисел Рейнольдса интеграл, что приводит к бесконечному значению константы Колмогорова.

При проведении более общих количественных и качественных оценок RPT теорий мы полагаемся на небольшое число исследований свободно затухающей турбулентности, в которой начальный спектр считается заданным, а уравнения для функций отклика (или пропагатора) решаются по времени вперед. Пионерской работой в этой области была работа Кречнана (1964с, 1965), затем следовали работы Геринга и Кречнана (1972, 1979), МакКомба и Шанмугасундарама (1984), Кото, Канеды и Бекки (1988), МакКомба, Шанмугасундарама и Хатчинсона (1989), МакКомба, Филипяка и Шанмугасундарама (1992).

Приведем здесь только представительный пример результатов подобных вычислений, и ради удобства мы возьмем их из работы МакКомба и Шанмугасундарама (1984) и МакКомба и др. (1992).

На рис. 12. продемонстрирован одномерный спектр для низких и умеренных чисел Рейнольдса порядка Rl = 40, где Rl число Тейлора Рейнольдса, подсчитенное по среднеквадратичной скорости и тейлоровскому микромасштабу, определенному формулой (79). Продемонстрированные спектры определены для произвольных начальных условий с помощью LET и DIA теорий. Они получены в условиях, когда все интегральные параметры достигают своей постоянной величины. На этом рисунке полученные спектры сравнены с экспериментальными результатами некоторых исследований. Можно видеть, что теории согласуются с экспериментом очень хорошо, по крайней мере, так же хорошо, как и экспериментальные результаты согласуются друг с другом.

 

Рис.12. Одномерный спектр для низких и умеренных чисел Рейнольдса, подсчитанный с помощью LET и DIA теорий.

LET ——, DIA -----. Экспериментальные результаты: Ñ, Rl = 39,4 (Стюарт и Таунсенд, 1951); , Rl= 49,0 и , Rl = 35,0 (Чен, 1968); D, Rl = 38,1 и , Rl = 36,6 (Комте-Беллот и Коррзин, 1971); , Rl = 45,2 (Френкель и Клебанов, 1971)

 

Среди интегральных параметров, которые определяют, является ли спектр установившимся, надо указать коэффициент асимметрии. Было установлено, что турбулентное поле скорости не является нормально распределенным. Одним из показателей отклонения распределения от гауссовского является коэффициент асимметрии [МакКомб, 1990]. Помимо большого физического значения коэффициент асимметрии имеет практическое значение, так как с помощью него можно очень точно различать результаты различных теорий. На рис. 13 показан расчетный коэффициент асимметрии S(t) в виде функции от времени для LET, DIA и SCF теорий. «Новая» форма LET, так же, как и старая, некорректна. Эти вычисления были проведены для установившегося числа Тейлора Рейнольдса Rl = 15 и сравнены с данными, полученными в пионерской работе Орзага и Паттерсона (1972), посвященной численному моделированию. Очевидно, что LET теория дает заниженное значение коэффициента асимметрии на малых временах, но устанавливается на больших временах на значениях, хорошо согласующихся с экспериментом.

На рис. 13 расчеты для всех трех теорий были сделаны в работе МакКомба и Шанмугасундарама (1984), которая устанавливает строгую совместимость трех теорий.

На рис. 14 это не так: одномерный спектр по LET теории, согласно работе МакКомба и Шанмугасундарама (1984), сравнен с предсказаниями, полученными в работе Геринга и Кречнана (1979) по теории лагранжевых траекторий ALHDI и SBALHDI. В этом случае число Тейлора Рейнольдса равно Rl = 500, которое является достаточно большим для наблюдаемой инерционной области колмогоровского типа. Ясно, что (допуская, как и ранее, разброс данных эксперимента), указанные три теории согласуются с экспериментом и оказываются сопоставимыми с колмогоровским распределением.

 

Рис. 13. Эволюция фактора скоса для низких чисел Рейнольдса.

LET (новая форма) ——, LET (старая форма) – – –, DIA -----,

SCF — - —. Экспериментальные результаты: , D, (Орзаг и Паттерсон, 1972)

 

Особенно интересно, что чисто эйлеровская LET теория ведет себя очень схоже с теориями лагранжевых траекторий.

Степень несовпадения между ними может быть обусловлена применением различных численных методов в конкретных исследованиях [МакКомб и Шанмугасундарам, 1984]. Напротив, на рис. 15 установившиеся одномерные спектры вычислены одним и тем же методом для трех чисто эйлеровских теорий LET, DIA и SCF для значительно большего числа Рейнольдса Rl = 1040. Результат является удивительным, так как все три теории согласуются до неразличимости и все три совместимы с колмогоровским спектром. Как бы то ни было, результаты подтверждают, что RPT теории заслуживают большего внимания.

 

Рис. 14. Одномерный спектр при больших числах Рейнольдса:

сравнение LET теории и теории лагранжевых траекторий

с экспериментом. Теория: LET ——, ALHDI — - —,

SBALHDI — - - —. Эксперимент: , , D, , Rl = 2000 (Грант и др., 1962); , Rl = 538 (Кистлер и Вребалович, 1966);Ñ, Rl = 308 (Уберой и Фреймут, 1969); , Rl = 850 (Коантиц и Фавр, 1974)

 

 

 

 

Рис. 15. Сравнение чисто эйлеровских теорий при больших числах Рейнольдса (Rl = 1040). LET——, DIA — - —, SCF -----.

 

Не вдаваясь в подробности здесь уместно заключить, что все теории, рассмотренные выше, согласуются с экспериментальной картиной достаточно хорошо в пределах разброса экспериментальных данных. Этот общий результат обнадеживает и более важен, чем некоторые детали различий между теориями. Теоретические построения при исследовании турбулентности пользуется дурной славой в связи со своей сложностью, но тем не менее дают хорошие результаты, согласующиеся с экспериментом, без использования ad hoc методов или подгоночных констант, что весьма примечательно. Однако, без сомнения, существует необходимость для улучшения методов этих теорий, а это можно ожидать в свою очередь после лучшего понимания физических явлений, лежащих в основе турбулентного движения.

Напротив, как мы видели, большинство ренормгрупповых теорий макроскопических движений жидкости связано с ситуацией, когда действительное движение жидкости сильно управляется взбалтывающей силой. Это очень искусственная ситуация, и здесь было мало попыток получить количественные оценки. Однако (как и в других разделах физики) прямое численное моделирование может дать соответствующий стандарт сравнения, но препятствием здесь является то, что различие между моделями FNS типа и турбулентностью жидкости гораздо больше, чем между моделью Изинга и ферромагнитной решеткой. Вероятно, более подходящей теорией для турбулентности могут служить новые оболочечные модели [Эйнк, 1993] или строго переномируемые модели для скалярного переноса [Авеланеда и Майда, 1992], поэтому можно ожидать развития в этой области в ближайшие несколько лет.

Там, где RG метод был применен к проблеме вычисления подсеточной вязкости, качественное поведение физически приемлемо, а предсказываемое значение константы Колмогорова находится в хорошем согласии с экспериментом. Однако еще отсутствует критическая проверка теории, и существует настоятельная необходимость детального количественного исследования погрешностей.

В данной работе мы представили очень узкий взгляд на теорию турбулентности, концентрируя внимание на методах перенормировки и подчеркивая сходство между проблемой турбулентности и другими проблемами теории поля и статистической физики. В действительности, с точки зрения фундаментальности, это наиболее развитые и наиболее подходящие теории, но они не дают всей картины исследований. Мы, например, проигнорировали вихревой метод, который может оказаться более естественным способом описания турбулентности [Шорин, 1994], многочисленные феноменологические модели, которые доминируют в инженерных исследованиях [Роди, 1980], и совсем не упомянули исследования малоразмерного хаоса, который, возможно, способен привести к созданию теории турбулентности. Этот последний пункт можно описать как истинно физический подход, дающий основу для исследований и движущийся от простого к сложному. К сожалению, он все еще мало развит и в обзоре конечного объема необходимо принять некоторые ограничения.

В данном обзоре не дано полное обоснование теоретических методов, а в области эксперимента не описана вся его сложность и привлекательность. В связи с этим заметим, что в последние два десятилетия обнаружилось, что движение жидкости, являющейся сложнейшей естественной нелинейной системой, необычайно богато удивительными явлениями. Это справедливо для простых жидкостей даже при малых числах Рейнольдса, но это справедливо в гораздо большей степени для гетерогенных систем, особенно в турбулентном режиме. В последнем случае уменьшение турбулентного трения за счет введения полимерной добавки наиболее яркий пример, в котором турбулентное трение может быть уменьшено на 95 %. В этом явлении мы встречаемся с макроскопическим аналогом явления сверхтекучести, который можно наблюдать в лабораторных условиях при нормальной температуре. Возможно, поскольку линейные проблемы уже решены в физике, и традиционные области физики конденсированного состояния превратились в электротехнику, материаловедение или инженерные науки, ученые в области фундаментальных наук могут с большей энергией обратиться к исследованиям макроскопического движения жидкости. Нам представляется, что это то направление, в котором каждый может найти область применения.

Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов