Турбулентность

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

московский физико-технический институт

(государственный университет)


Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением

Московского физико-технического института

(государственного университета)

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

по направлению “Прикладные математика и физика”

Москва 2005



30. 30. Теодорович Э.В. Метод ренормализационной группы в задачах механики // ПММ. – 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 335–367.

УДК 532.529

Х58

 

Рецензенты:

Кафедра физики Российского химико-технологического университета

(Зав. кафедрой, доктор физико-математических наук, профессор В.М. Кузнецов)

Доктор физико-математических наук, профессор И.И. Липатов

 

Хлопков Ю.И., Жаров В.А. Горелов С.Л.

Х58 Лекции по теоретическим методам исследования турбу-

лентности: Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2005. — 179 с.

ISBN 5-7417-0132-9


Рассмотрены теоретические основы изучения турбулентного движения жидкости. Дан критический анализ многочисленных теоретических подходов описания турбулентности. Турбулентность рассматривается в контексте физических методов. Приведенный в пособии ретроспективный взгляд позволяет легко перейти к изучению современных методов теоретического и численного исследования сложных неоднородных турбулентных течений. Книга доступна как для студентов, так и для аспирантов-аэродинамиков.

Предназначено для широкого круга читателей, интересующихся современными проблемами описания турбулентных течений.

 

УДК 532.529

© Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л., 2005

ISBN 5-7417-0132-9 © Московский физико-технический институт

(государственный университет), 2005

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

 

 

Современные методы исследования

турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

12

 

 

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

 

 

2. Турбулентность как естественное состояние

жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

23

 

 

3. Турбулентность как ветвь статистической

физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

56

 

 

4. Перенормировочная теория возмущений . . . . . . . . .

107

 

 

5. Ренормализационная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

 

 

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

 

 

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Вопросу теоретического описания турбулентных явлений посвящено множество монографий и научных статей, так как эта проблема оказывается неувядающей вот уже в течение более 150 лет. Время от времени появляются очень яркие новые идеи и методы, которые вдохновляют многочисленных исследователей на преодоление необычайных трудностей, связанных с пониманием сути проблемы. Тем не менее практическая важность хотя бы инженерного решения этой проблемы породила огромное число полуэмпирических моделей, в которых вопрос о сути проблемы не ставится, а результаты ориентируются на определенный набор интересных для технических приложений течений. При этом делается упор на описание средних моментов низкого порядка: средняя скорость, среднее давление, средняя кинетическая энергия, средние концентрации химических компонентов и т. п. Кроме того, развивалось моделирование, мотивацией которого была невозможность точного численного описания течений при очень больших числах Рейнольдса.

В последнее время достигнут значительный прогресс в экспериментальном и теоретическом изучении анизотропных турбулентных течений, который позволяет вернуться к исходным проблемам, связанным с существом этого явления [1–4]. Экспериментально обнаружены когерентные структуры, которые представляют существенные элементы течений, оказывающие сильное влияние на различные физические характеристики потоков. Таким образом, течение разбивается на глобально среднее течение, когерентную структуру и стохастический компонент. Были сделаны эксперименты, которые способствовали выявлению деталей когерентных структур. Стохастический же компонент стал теоретически связываться с так называемой фрактальной структурой множества сингулярностей поля завихренности [6–8]. Сингулярная структура турбулентного поля пульсаций следует, например, из простых рассуждений [5].

Рассмотрим уравнение Навье–Стокса:

 

. (1)

 

При n ® 0 уравнение инвариантно относительно преобразований [29]:

 

. (2)

 

Для конечных n уравнение будет инвариантным, если

 

. (3)

 

Заметим, что число Re = VL/n инвариантно относительно преобразований (2) и (3). Предполагая, что мелкомасштабная турбулентность статистически инвариантна относительно этих законов подобия, мы можем выбрать h, исходя из физических соображений. Предположение Колмогорова (1941) – законы подобия турбулентности оставляют неизменным поток энергии в предположении о локальности нелинейных взаимодействий в k-пространстве. Из этого предположения следует, что скорость диссипации энергии инвариантна относительно преобразований подобия (3). По определению, e = ná(Ñv)2ñ, где символ á…ñ – среднее по ансамблю. Отсюда

 

(4)

 

Из инвариантности получаем h = 1/3. Теория Колмогорова имеет сильное продолжение по отношению к величине градиента скорости Ñv. Рассмотрим величину

 

.

Из преобразования подобия с h = 1/3 следует

 

. (5)

 

т.е. градиент скорости является сингулярной величиной.

Сингулярность поля пульсаций с самого начала проблемы обыгрывалась по аналогии с кинетической теорией газов, т.е. несжимаемая жидкость рассматривалась как ансамбль жидких частиц – молей. При этом течение определяется хаотическим движением молей, каждый из которых обладает собственной скоростью и координатой. Изменение характера течения в целом, например, поля средних скоростей происходит из-за турбулентного перемешивания молей с разными собственными скоростями. Вообще любая характеристика течения является усреднением аналогичных характеристик молей, составляющих данный поток. Аналогию между молярным перемешиванием в турбулентном потоке и молекулярным переносом в газах использовали еще Буссинеск и Прандтль для вывода известных формул турбулентного трения. Формула Буссинеска имеет вид

 

,

 

здесь величины l и v – случайные длина перемешивания и пульсационная скорость жидкой частицы. Формула Прандтля имеет вид

 

,

 

здесь L (путь смешения) – эмпирическая величина. В общем случае подобными формулами осуществляется связь двух тензоров: тензора напряжения и тензора скоростей деформации. Заметим, что подобная связь между названными тензорами называется линейной, даже если коэффициент nT зависит от элементов поля скорости.

Большим вкладом в развитие теории турбулентности явилась каскадная теория передачи энергии по спектру турбулентных пульсаций, т. е. передача энергии от больших масштабов к меньшим. Колмогоров и Обухов придали этой теории в однородном и изотропном случае аналитический вид, воспользовавшись теорией размерности и подобия. Результаты были экспериментально подтверждены с большой степенью точности. С тех пор для течений с большими числами Рейнольдса изотропная и однородная турбулентность рассматривается как основная составляющая, хотя и допускается существование ситуаций, в которых спектр энергии еще не установился.

Главный вывод этой теории – наличие инерционной области спектра по волновым числам k: 1/L << k << (1/L)Re3/4, в которой вязкие эффекты диссипации энергии несущественны, благодаря чему спектральная плотность энергии изменя ется в зависимости от волнового числа по закону «–5/3». Включение этого элемента в динамику жидкости приводит к появлению моделей с некоторой феноменологической связью тензора напряжений с тензором скоростей деформаций дополнительными уравнениями, наподобие указанных выше, а также к некоторому числу дополнительных уравнений для величин типа турбулентной энергии, скорости диссипации и т. п. (например, K–e модель). Однако практика показала, что подобные модели имеют узкую область применения. С изменением области применения меняются и константы, входящие в эти уравнения, которые надо снова определять экспериментально. Кроме того, для течений типа пограничного слоя возникали трудности с удовлетворением граничных условий на твердых поверхностях.

Более последовательное, на наш взгляд, направление построения моделей для течений с большими числами Рейнольдса связано с так называемым подсеточным моделированием, смысл которого связан с тем, чтобы оставить в уравнениях гидродинамики только масштабы, превосходящие размеры расчетной сетки (разрешенные масштабы). Это уменьшает количество степеней свободы до разумной величины и позволяет использовать современную вычислительную технику для определения средних полей течения. Размер расчетной сетки выбирают так, чтобы соответствующее ей волновое число находилось в инерционной области, и вводится некоторая связь тензора напряжений с элементами поля течения. Так, например, в модели Смагоринского вводится линейная связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформации. Коэффициент вязкости заменяется на коэффициент турбулентной вязкости, который определяется из осреднения подсеточных пульсаций, т. е. пульсаций, размер которых меньше размера сетки. К исходным уравнениям могут быть добавлены несколько дополнительных уравнений, например, для подсеточной кинетической энергии и т. п. Уравнения решаются по времени относительно разрешенных переменных, при этом пульсации с подсеточными частотами отфильтровываются с помощью того или иного фильтра, а то, что остается, усредняется по времени. В этом их главное отличие от моделей типа Буссинеска или Прандтля, которые можно использовать и в стационарных постановках.

Однако практика показала, что сильно анизотропные течения, такие, как течение в пограничном слое или в слое смешения, не ухватываются такими теориями, приводя к неправильному профилю скорости и другим эффектам. Последние экспериментальные достижения показывают, что подобные модели не содержат ряд эффектов, которые наблюдаются в реальных потоках. После скрупулезного анализа оказалось, что подсеточные модели должны содержать эффекты переноса энергии по спектру в инерционной области, включая обратное рассеяние энергии, а также ее перераспределение между нормальными компонентами тензора напряжений. Эти эффекты являются следствием нелинейных взаимодействий и анизотропии. Результаты, полученные при использовании нелинейной модели в крупномасштабном моделировании нейтрального сдвигового пограничного слоя в атмосфере, демонстрируют существенное улучшение в предсказании средних величин по сравнению с линейными моделями типа модели Смагоринского. Эти результаты показывают также сильное влияние модели на структуру течения.

Отметим также методы [24–28], в которых для турбулентного пограничного слоя на основе множественного трехволнового резонанса получены уравнения для пульсаций в виде кинетического уравнения для элементарных волн и явным образом выделенного уравнения для пристеночной когерентной структуры, ответственной за генерацию завихренности со стенки. Явное выделение когерентной структуры позволяет вновь вернуться к стационарной постановке задачи. Характер нелинейности тензора напряжений при этом сохраняется.

Кроме методов подсеточного моделирования большое распространение получили методы статистического моделирования турбулентных течений [16–22]. В этих методах делается попытка феноменологически сформировать уравнение для плотности вероятности флуктуаций поля скорости (и других параметров), которое затем решается с помощью методов Монте-Карло. Такой подход позволяет вычислять как средние моменты низшего порядка, так и более тонкие статистические характеристики. В качестве практических достижений этих подходов можно указать на численное решение задач о турбулентном следе за цилиндром, о расплывании турбулентного пятна, о профиле турбулентного пограничного слоя, обтекание обратной ступеньки и т. п.

Параллельно с указанными результативными подходами к описанию турбулентной динамики развиваются теоретические методы исследования, в которых на основе уравнений Навье–Стокса делаются попытки найти либо статистическое решение проблемы [9, 10] (проблема замыкания, уравнения в функциональных производных), либо используются методы динамических систем (мультифрактальная структура поля завихренности, вейвлетный анализ – фрактальное преобразование свертки) [5–7], либо используются уже зарекомендовавшие себя в исследовании критических явлений ренормгрупповые приложения теоретико-физических асимптотических методов, развитых в применении к описанию динамических систем с бесконечным числом степеней свободы с возбуждением непрерывного спектра масштабов [11–14, 23, 30]. Детали метода громоздки, однако суть некоторых его вариантов можно пояснить на примере метода Гаусса [15] вычисления эллиптического интеграла (в RNG методах тоже вычисляются интегралы для нахождения средних по ансамблю величин, только эти интегралы являются, вообще говоря, континуальными) с помощью арифметико-геометрического среднего. Пусть надо вычислить интеграл вида

 

.

 

Для его вычисления делается преобразование этого интеграла, которое оставляет вид и величину этого выражения неизменными, т. е. новое выражение можно записать как

 

,

 

а m¢ и n¢ определены выражениями

 

,

 

т. е. рекуррентно. Гауссом было доказано, что предел для m¢ и n¢ этих рекуррентных соотношений существует, и m¢ и n¢ совпадают. После этого искомый интеграл I легко выражается через этот предел. Сведение задачи к рекурсивным соотношениям является основой многих RNG подходов.

Далее описаны результаты теоретических исследований, связанных с решением задачи об изотропной и однородной турбулентности. Приводится простое физическое введение в сущность явления, дается краткое описание математических методов, позволяющих описывать системы с бесконечным числом степеней свободы. Кроме того, подводится итог применения этих методов для описания однородной и изотропной турбулентности. Рассмотрены парадоксы и особенности этих методов. Все это дает хорошую основу для понимания и применения современных математических подходов к решению задач о турбулентном движении жидкости.

 

Список литературы

1. 1. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Исследование прерывистой структуры течения в пристенной области турбулентного пограничного слоя // Турбулентные течения. – М.: Наука, 1974.

2. 2. Садовский В.С., Синицына Н.П., Таганов Г.И. Численное исследование математической модели пристенного течения в турбулентном пограничном слое // Пристенные турбулентные течения. Ч. 1. – Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1975.

3. 3. Robinson S.K. Coherent Motions in the Turbulent Boundary Layer // Ann. Rev. Fluid Mech. –1991. V. 23. P. 601–639.

4. 4. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое. – М.: МФТИ, 2002. – 267 с.

5. 5. Benzi R., Paladin G., Parizi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems // J. Phys. A. Math. Gen. –1984. 17. P. 3521–3531.

6. 6. Суини Х. и др. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. – М.: Мир, 1984. – 344 с.

7. 7. Farge Maric. Are wavelets and related multiscale techniques useful for turbulence? // Tagungsber. Math. Forschungsinst. Obervolfach. – 1995. N 31. Р. 6–7.

8. 8. Монин А.С., Полубаринова-Кочина П.Я., Хлебников В.И. Космология, гидродинамика, турбулентность. А.А. Фридман и развитие его научного наследия. – М.: Наука, 1989. – 325 с.

9. 9. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. – М.: 1996. – 742 с.

10. 10. Inoue A. Functional Derivative Equations (including the Hopf equation) in an Analysis on superspace over co-dimentional Frechet-Grassman algebra // Tagungsber. Math. Forschungsinst., Obervolfach. – 1991. N 35. Р. 9.

11. 11. Теодорович Э.В. Использование метода ренормализационной группы // Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. – М.: 1996. – 742 с.

12. 12. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квантовополевая ренормализационная группа в теории развитой турбулентности // УФН. – 1996. Т. 166, № 12. С. 1257–1284.

13. 13. Захаров В.Е., Львов В.С. О статистическом описании нелинейных волновых полей // Известия ВУЗов, Радиофизика. – 1975. Т. XVIII. № 10. С. 1470–1487.

14. 14. Ширков Д.В. Ренормализационная группа, принцип инвариантности и функциональная автомодельность // ДАН СССР. – 1982. Т. 263. С. 64–67.

15. 15. Клайн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: в двух томах. Т. 1. – М.: Наука, 1989. – 456 с.

16. 16. Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение. – М.: Наука, 1986. – 287 с.

17. 17. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. – М.: Физматлит, 1994. – 448 с.

18. 18. Van Slooten P.R., Pope S.B. Advances in PDF modeling for inhomogeneous turbulent flow // Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 1. Р. 246–265.

19. 19. Delarue B.J., Pope S.B. Calculation of subsonic and supersonic turbulent reacting mixing layers using probability density functions methods // Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 2. Р. 487–498.

20. 20. Ong L., Wallace J. M. Joint probability density analysis of the structure and dynamics of the vorticity of a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. – 1998. V. 367. Р. 291–321.

21. 21. Белоцерковский О.М., Иванов С.А., Яницкий В.Е. Прямое статистическое моделирование некоторых задач турбулентности // ЖВМ и МФ. – 1998. Т. 38, № 3. С. 489–503.

22. 22. Белоцерковский О.М., Опарин А.М. Численный эксперимент в турбулентности. От порядка к хаосу. Изд. 2-е, доп. – М.: Наука, 2000. – 223 с.

23. 23. Васильев А.Н. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. Сиб. Изд. ПИАФ, 1998. – 774 с.

24. 24. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Резонансные свойства ламинарного и турбулентного пограничных слоев // Численное моделирование в задачах аэродинамики и экологии. – М.: МФТИ, 1998.

25. 25. Zharov V.A., Dodonov I.G., Khlopkov Yu.I. Resonant properties of laminar and turbulent boundary layers // Proc. of the third seminar on RRDPAE’98, Warsaw University of Technology, Research Bulletin N 7, part II, Warsaw, 1999.

26. 26. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Локализованные когерентные структуры в пограничном слое // ПМТФ.– 2000. Т. 41, № 6. С. 60–68.

27. 27. Bogolepov V.A., Zharov V.A., Lipatov I.I., Khlopkov Yu.I. Turbulent boundary layer model with explicit representation of coherent generative structure // Proc. of Int. conf. «Progress in nonlinear science». Nizhniy Novgorod, Russia, July 2–6, 2001, V. II, pp. 209–214.

28. 28. Жаров В.А., Боголепов В.В., Липатов И.И., Хлопков Ю.И. Модель турбулентного пограничного слоя с явным выделением когерентной генерационной структуры // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4. С. 65–74.

29. 29. Frish U. Fully developed turbulence and singularities // In: Chaotic behavior of deterministic systems, Les Houches, 1981, North-Holland: Amsterdam, 1983, pp. 665–704.