Ренормализационная группа (RG)

 

Магнетизм возникает из-за того, что спины в узлах решетки выстраиваются друг за другом. Эта тенденция спинов к упорядочению противоположна тепловому воздействию, которое стремится создать беспорядок. Упорядочение возникает в виде случайной флуктуации на масштабах длин, изменяющихся от шага решетки (L0) до некоторой корреляционной длины (скажем, x). Корреляционная длина зависит от температуры и становится бесконечной при температуре Кюри (или в критической точке). В критической точке появляются флуктуации всех масштабов от L0 до размеров образца, поэтому наступает полная всеобщая магнетизация.

Теоретическая задача состоит в том, чтобы вычислить гамильтониан (и, следовательно, термодинамические свойства материала), который содержит члены взаимодействия в виде суммы по всем конфигурациям спинового взаимодействия. Тот факт, что все длины (в принципе) одинаково важны, вносит трудность, связанную с вопросом, с каких масштабов начать. Конечно, если некоторые масштабы исключены, то каким-то способом их влияние должно быть сохранено.

Более простая задача возникает в модели Изинга, в которой вектора спинов являются булевскими и направлены только вверх или вниз, а промежуточные состояния отсутствуют. Кроме того, предполагается, что спины взаимодействуют только с ближайшими соседями.

Приложение RG к этой модели можно рассматривать как некоторую форму укрупнения зернистости в следующем смысле. Мы начинаем с гамильтониана взаимодействия H0, связанного с двумя спинами, разделенными расстоянием L0 (т. е. шагом решетки). Затем мы вычисляем эффективный гамильтониан H1, связанный с областью размером 2 L0, усредняя влияние масштабов L0. Затем мы вычисляем H2, связанный с длинами 4 L0, в котором проведено осреднение по масштабам, меньшим или равным 2 L0.

Описанный выше процесс может быть выражен формально через преобразование T, которое применяется рекурсивно: TH0®H1, TH1®H2, TH2®H3, ... На каждой стадии масштаб длины изменяется: L0®2L0, 2L0®4L0, ... и для компенсации этого спиновые переменные масштабируются соответствующим образом так, чтобы гамильтониан всегда был тем же самым в масштабированных координатах. Это есть как раз то самое перемасштабирвание, которое приводит к перенормировке, а множество преобразований {T} определяет простую группу, которая и называется группой перенормировок. Если итерирование преобразования приводит к результату

 

то HN называется стационарной точкой. В случае критических явлений эта точка соответствует критической точке.

Теперь рассмотрим обобщение этой процедуры на случай континуальной задачи (как в движении жидкости), которая здесь нас интересует. Предположим, что мы сделали преобразование Фурье и перешли от z-пространства к k-пространству. Более того, предположим, что мы удалили (каким-то способом) наименьшие масштабы длин, скажем, меньшие или равные L–1, так что мы остались с гамильтонианом, который является функцией континуальных переменных в k-пространстве, H(L). Затем мы формально удаляем моды в полосе L/b £ k £ L следующим образом. Обозначим трехмерное спиновое поле через Sa(k), где a = 1, 2,3, и сделаем следующие шаги:

1. 1. Проинтегрируем по всем Sa(k), для которых L/b £ k £ L.

2. 2. Перенормируем оставшиеся моды спинового поля, умножая волновые вектора на множитель b.

3. 3. Умножим каждый Sa(k) на постоянный множитель zb.

Параметр b должен удовлетворять условию 1 < b < ¥ и известен как пространственный перенормировочный множитель, а zb – как спиновый переномировочный множитель (терминология связана с магнетиками). Если мы запишем упомянутые три шага в виде

 

то множество , 1 < b < ¥ можно называть ренормализационной группой. Заметим, что мы не определили обратное преобразование к , т. е. короче говоря, мы определили полугруппу. Прекрасное всеобъемлющее рассмотрение этого понятия приведено в работах [Вилсон, Когут, 1974] и [Вилсон, 1975].

Описанные выше идеи, связанные с рассмотрением статических критических явлений, могут быть обобщены на динамические критические явления, т. е. на те случаи, когда Sa(k, t) является функцией времени. Ма и Мазенко (1975) развили модель изотропного ферромагнетика и изучили стационарную точку с помощью обобщения RG алгоритма, рассмотренного в предыдущем пункте. Следует отметить, что имеется некоторое сходство между этой задачей и проблемой турбулентности, которое состоит в том, что спаривание между спинами приводит к появлению нелинейных членов в уравнении движения для спинового поля. Кроме того, в задаче с магнетиком необходимо моделировать эффекты теплового возбуждения, и это делается с помощью введения произвольного шумового члена. Очевидно, что это аналогично введению взбалтывающей силы в случае турбулентности. Сходство усиливается еще и тем, что шум рассматривается как многодисперсионный с гауссовским распределением, т. е. в точности такой же, как и в нашей формулировке проблемы турбулентности.

Мы не будем вдаваться в детали уравнений движения: для нас достаточно заметить, что они содержат множество параметров m, в которое входят: внешнее поле, интенсивность шумовой накачки, интенсивность связи спинов и некторые другие феноменологические параметры и константы. Используя, где это возможно, обозначения предыдущего пункта, определим теперь RG как непрерывное множество преобразований Rb, которые преобразуют m в m¢, так что


и определяемое следующим образом:

1. 1. Надо решить уравнение движения для всех Sa(k, t), для которых L/b £ k £ L, подставить решение в оставшиеся уравнения движения и усреднить по случайному шуму. Это исключает коротковолновую компоненту поля из уравнений движения.

2. 2. Пернормировать оставшиеся моды спинового поля с помощью умножения волновых векторов на множитель b, заменив длину L в физическом пространстве на bL¢, заменяя спиновое поле на b1–h/2S(bk, bzt) в оставшихся уравнениях движения. Новые уравнения движения затем записываются в прежнем виде, но с измененными параметрами, которые рассматриваются как элементы множества m¢.

Постоянные h и z определяются следующим образом. Мы продолжаем процесс до тех пор, пока не найдем множество m, которое инвариантно относительно RG преобразования. Очевидно, что это стационарная точка преобразования, которая определяется из решения уравнения


Постоянные h и z выбираются таким образом, чтобы это уравнение имело решение.

Ма и Мазенко основывались на введении теории возмущений в предположении, что все параметры множества m малы, но мы вернемся теперь к теории турбулентности и, в частности, к уравнениям Навье–Стокса.

При увеличении числа Рейнольдса макроскопическое движение жидкости испытывает два «фазовых перехода». Во-первых, происходит переход к турбулентности, а во-вторых, при больших числах Рейнольдса, – переход к автомодельному поведению турбулентности. В последнем случае это означает установление промежуточной области волновых чисел, в которой энергетический спектр принимает вид степенного закона. И это как раз тот последний переход, который мы рассмотрим.

Удобным способом установления автомодельного поведения является рассмотрение случая, в котором число Рейнольдса (вычисленное, например, по турбулентному микромасштабу) достаточно велико, так что в достаточно обширной области волновых чисел существует степенной спектр. Теперь определим локальное число Рейнольдса, используя обратную величину волнового числа в качестве масштаба длины. Тогда, двигаясь по волновым числам в сторону уменьшения, мы фактически увеличиваем число Рейнольдса до того места, где начинается степенной спектр (т. е. граница между инерциальной и вязкой областями). Поэтому, по существу, простейшее применение RG к турбулентности содержит последовательное исключение коротковолновых мод с переходом к стационарной точке, соответствующей перенормированной вязкости в инерционном интервале.

Соленоидальное уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости (182) теперь запишется в виде

 

(236)

 

где мы обозначили кинематическую вязкость жидкости через n0, чтобы подчеркнуть неперенормированный статус этой величины в рамках проблемы турбулентности.

Для того чтобы попытаться осуществить алгоритм RG, рассмотренный ранее, предположим, что Фурье-компоненты определены на интервале 0 £ k £ k0, где k0 – наибольшее волновое число, равное колмогоровскому диссипативному масштабу (147). Тогда для k1, k1 < k0, выделим скорость при k = k1. Это можно выразить с помощью ступенчатой функции

 

, (237)

, (238)

 

позволяющей определить следующие полезные формулы:

 

 

Подстановка этих формул в уравнение (237) позволяет разложить уравнения Навье–Стокса на длинноволновые и коротковолновые части:

 

(239)

(240)

 

Если мы попытаемся выполнить первый из трех шагов, описанных для решеточно-спинового гамильтониана, то сможем приспособить эту процедуру к настоящему случаю следующим образом:

1. 1. Решаем уравнение (240) для u+.

2. 2. Подставляем это решение в уравнение (239) для u и делаем частичное усреднение по u+.

3. 3. Члены, получающиеся в результате этой процедуры, которые линейны по u, можно интерпретировать как вклад в турбулентную вязкость.

Главная проблема, которая возникает из-за межмодового взаимодействия, легко понятна.

· · Во-первых, решение уравнения (240) для u+ содержит члены с u. Когда они подставляются в правую часть уравнения (239), в результате получаются члены третьего порядка нелинейности по u, которые могут приводить к появлению нелинейности более высокого порядка в последовательных итерациях.

· · Во-вторых, усреднение коротковолновых мод требует выполнения соотношения

которое не может быть строго истинным, поскольку u и u+ являются частями одного и того же поля скорости и не являются статистически независимыми.

Следует подчеркнуть, что эти две проблемы непременно появляются при попытке приспособить эту процедуру к настоящему случаю (при применении RG к уравнению Навье–Стокса). Пути решения данных проблем отличают одну RG теорию турбулентности от другой. Мы здесь рассмотрим два возможных подхода. Первый существенно уклоняется от решения указанных выше проблем за счет рассмотрения довольно искусственной модели жидкости. Этот путь изложен в работах FNS [Форстер, Нелсон и Стефен, 1976, 1977]. Второй восходит к работе Роуза (1977) (хотя и относится к рассмотрению линейной задачи о конвекции пассивного скаляра) и имеет дело с исключением конечных блоков мод в реальной турбулентности при больших числах Рейнольдса.

Подход FNS развился под влиянием динамической теории критических явлений, в результате чего его можно рассматривать как способ переформулирования проблемы турбулентности так, чтобы она приняла форму модели Изинга. Они рассмотрели модель турбулентности в ограниченной области 0 £ k £ L, где L было выбрано достаточно малым, чтобы исключить влияние каскадного переноса энергии. Определение их класса моделей было закончено выбором степенного закона для дисперсии внешней силы W(k) в соответствии с (138):

 

(241)

 

для k £ L.

Выбор величины y равносилен выбору модели, и y = 2 дает модель А FNS, соответствующую тепловому равновесию, тогда как y = 0 дает их модель В, которая соответствует макроскопическому перемешиванию жидкости. Мы ограничимся моделью В.

FNS обходит две существенные трудности, рассмотренные выше, за счет рассмотрения упрощенных систем. Они использовали модифицированную форму l-разложения, заменив l на l0, которая затем рассматривается как перенормируемая. Соответствующее поле нулевого порядка просто связано с взбалтывающей силой линейным пропагатором (или функцией Грина). Выбирая взбалтывающую силу статистически независимой для разных волновых чисел, получаем, что проблема усреднения становится тривиальной, поэтому можно усреднить по u+ независимо от u. Фактически это является существенно большим упрощением, чем модель Изинга в случае магнетика.

Таким образом, производится перенормировка вязкости, взбалтывающей силы и интенсивности взаимодействия. Существенной чертой этого анализа является то, что тройная нелинейность в u становится несущественной в процессе итераций до самой стационарной точки. Таким образом, характерной чертой метода является определенный вид инвариантности уравнений Навье Стокса по отношению к перенормировке, так как в результате действия перенормировки достигается стационарная точка. Существует много ограничений, сопутствующих этому результату, но самое существенное в них то, что результат пригоден асимптотически при k ® 0.

Важно отметить, что FNS теория не имеет ничего общего с турбулентностью и не может быть применена к ней. В этой теории L должна быть выбрана достаточно малой, чтобы исключить каскадные эффекты в инерционной области, поэтому при применении к реальной жидкости необходимы L на порядок меньшие, чем колмогоровское диссипативное волновое число для данного течения. Как указывается в FNS теории, каскадный процесс недоступен для нее, так как при больших волновых числах процедура этой теории начинает выдавать несоразмерно большие величины параметра взаимодействия.

FNS теория взбалтываемой жидкости привлекла большое внимание. В частности, де Доминикис и Мартин (1979) повторили полученные в ней результаты, используя теоретико-полевые методы. Они указали также, что если выбрать y = 3 в FNS выражении для дисперсии (т. е. в соотношении (241)), то предсказываемый энергетический спектр приобретает колмогоровский вид. Однако проблема в этом подходе состоит в том, что в стационарном режиме выбор дисперсии силы должен приводить к виду W(k), который сохраняет скорость диссипации e. Как отмечено в работе МакКомба (1990), их выбор W0 = e для того, чтобы определить скорость диссипации, вместе с соотношением (241) означает, что спектр силы (и, следовательно, спектр энергии) должен быть ограничен волновыми числами kmin и kmax, где kmax/kmin = 1,083.

Яхот и Орзаг (1986, далее YO) предположили, что подобный подход может быть использован в практических расчетах. Их предложение было заявлено как принцип соответствия в том смысле, что численные результаты, полученные из FNS теории, должны быть такими же, что и для соответствующего реального турбулентного течения. Например, они получили для колмогоровского спектрального закона величину a = 1,62. В отличие от де Доминикиса и Мартина (1979) они показали, что соотношение между взбалтывающей силой и скоростью диссипации могут быть получены из перенормированной теории возмущений, и получили результат, эквивалентный y = 3 и W0 = 11,12 e.

Позже они использовали процедуру для вывода результатов RPT [Данневик, Яхот, Орзаг, 1987]. Но даже с этим частным соотношением между скоростью накачки и скоростью диссипациии волновые числа, ограничивающие область действия взбалтывающей силы (и, следовательно, поле скорости), должны находиться в отношении kmax/kmin = 1,007.

Теория Яхота и Орзага была использована для получения одной из версий k e модели, которая хорошо известна в практических приложениях. Это привлекло большое внимание исследователей во всем мире с точки зрения вычислительной гидродинамики, но в действительности эта теория переносит нас из области фундаментальных исследований в область феноменологии с константами, подгоняемыми таким образом, чтобы уравнения были применимы для получения предсказаний, совпадающих с экспериментальными результатами. В соответствии с этим мы опять выходим за рамки рассмотрения, но прежде заметим, что вся YO процедура недавно была подвергнута острой критике [Эйнк, 1994].

Более свежий подход Лэма (1992) значительно более отчетливо указал, что подгоночные константы содержатся в процедуре моделирования. Начиная с уравнения Навье Стокса, Лэм сосредоточился на дополнительном члене (обозначенном как gfast), который возникает в уравнении движения для разрешенных мод как следствие процесса исключения мод. Используя результаты FNS теории в качестве оправдания этого шага, Лэм выразил длинноволновую часть gfast через постоянную вихревую вязкость. Ошибка, возникающая при этом, моделировалась корреляционной функцией с пиком в окрестности k = L. Таким способом Лэм избежал проблемы нелинейности третьего порядка.

В подходе Лэма уравнение (241) может быть записано как

 

(242)

 

где (для пространства размерности 3) сделана замена y = e 1. Выбор такой зависимости W от L позволяет восстановить колмогоровский спектр без ограничения на величину e, полагаемую ранее равной 4 для всех k. Следовательно, по Лэму e пригодна для подгоночной постоянной.

Наконец проблема связи между скоростью диссипации и рассматриваемым физическим полем течения была решена введением ad hoc выражения для скорости диссипации:

 

(243)

 

где nT – не зависящая от k вихревая вязкость. Фактически это предложение эквивалентно уравнению (248), которое получено из уравнений Навье Стокса для более общего случая [МакКомб, 1986].

Одна из интересных черт этой работы состоит в том, что Лэм требует интерпретировать YO как модель турбулентности и дать оправдание ее принципа соответствия. Для исследователей, работающих в рамках CFD, представляет интерес обоснование этого принципа.

Роуз (1977) рассмотрел подсеточное моделирование турбулентной конвекции пассивной скалярной примеси (например, f). Этот метод содержал итеративную процедуру, в которой моделировались сначала вихри из диссипативной области, а затем вихри немного большего размера и т. д. Это был настоящий рекурсивный метод исключения, содержащий полосу волновых чисел конечного размера в инерциальной и диссипативной областях k-пространства. Усреднение по модам в полосе k1 £ k £ k0 предшествовало такой же процедуре для k2 £ k £ k1. В общем случае n-е волновое число определялось соотношением

 

(244)

 

для произвольного h.

Роуз сделал два предположения, каждое из которых представляется весьма обоснованным. Он считал u+ малой по сравнению с u, кроме того, он полагал, что u+ быстро осциллирует (изменяется) в масштабе времени величины u. После этого непосредственное применение метода итеративных возмущений приводит к стационарной точке, соответствующей перенормированной (подсеточной) скалярной диффузии.

Однако когда мы рассматриваем, как теория Роуза решает сложные проблемы модовой связи, мы обнаруживаем, что первое из этих предположений не справедливо в той форме, в какой мы его рассматривали. Это является следствием того, что Роуз изучал явно линейную задачу скалярной конвекции, в которой тройная нелинейность по u не возникает. Вместо этого он столкнулся с аналогичным членом <f< u u>, который он рассматривал как часть нового скалярного диффузионного уравнения. Это уравнение является новым, проявляющим некоторую инвариантность по отношению к RG преобразованиям, но последнее содержит дополнительное обрезание в каждом цикле итераций для того, чтобы поддержать эту инвариантность. Вторая проблема, связанная с частичным усреднением по u+, просто проигнорирована за счет интерпретации u+ и u как не зависимых статистически. После этого частичное усреднение становится просто комбинированием фильтра и среднего по ансамблю.

Различные методы, называемые методом итеративного усреднения, восходят к работе МакКомба (1982), где было введено рейнольдсовское среднее, согласно которому уравнение движение сначала подвергается процедуре последовательного условного усреднения, а затем вычитается из неусредненного уравнения. В результате было получено уравнение для коротковолновых мод, которое не содержало членов, нелинейных по длинноволновым модам, благодаря чему проблема тройной нелинейности не возникала [МакКомб, Шанмугасундарам, 1983].

Помимо этого теория использует те же предположения для поля скорости, что и у Роуза (1977) для скалярного случая, поэтому рекурсивные соотношения приводят к стационарной точке, в которой перенормированная вязкость не зависит от произвольно выбранной молекулярной вязкости n0. Коротко сформулируем окончательный результат.

Если nn(k¢) перенормированная вязкость после исключения -й оболочки волновых чисел, то введем автомодельный вид

 

, (245)

 

где a постоянная Колмогорова, e скорость диссипации и kn волновое число обрезания после исключения n-й оболочки.

Затем с помощью масштабного множителя h в соответствии с соотношением (245) рекурсивное соотношение для записывается как

 

(246)

 

где приращение к вязкости имеет вид

 

(247)

 

Затем выписывается перенормированное диссипативное соотношение [МакКомб, 1986] в форме

 

. (248)

 

Это позволяет вычислить постоянную Колмогорова. Не смотря на то, что величина этой постоянной была в хорошем согласии с экспериментом, была показана ее нефизическая зависимость от скалярного параметра h (как в результатах Роуза). Эта зависимость была объяснена неправильной связью между условным средним и обычным средним по ансамблю.

В ряде статей [МакКомб иУатт, 1990, 1992; МакКомб, Робертс и Уатт, 1992] была сделана попытка улучшить итеративный метод усреднения и поставить его на твердое основание. Это потребовало развития хорошо разработанного формализма, в котором условное усреднение определено по смещенному подансамблю при обычном среднем по ансамблю, определенном по всему представительному ансамблю. Условное среднее по u+ (в котором u считается постоянной) впоследсвии связывается с безусловным усреднением по всему ансамблю с помощью разложения

 

(249)

 

где V+ не зависит от u, и, следовательно, может быть усреднено безусловно, в то время как D+ отражает влияние взаимодействия мод на условное среднее.

Этот формализм является очень общим и может применяться для рассмотрения проблем с межмодовым взаимодействием, но его применение для некоторых частных физических систем нуждается в предположении о связи между V+ и u+, таком, что D+ можно считать малой. Для случая турбулентности вера в то, что энергетический каскад является локальным в пространстве волновых чисел, предполагает, что соответствующее соотношение можно получить, беря V+ определенном посредством разложения первого порядка u+ в ряд Тейлора в окрестности k = k0 для первой полосы волновых чисел, подлежащей исключению, а затем обобщая эту процедуру на последующие полосы.

Как и ранее, возьмем автомодельную эффективную вязкость для n-й исключаемой полосы в соответствии с (246), но теперь рекурсивное соотношение для автомодельной вязкости принимает вид

 

, (250)

 

Это изменяет рекурсивное соотношение (сравните с (246) в ранних вариантах теории) в направлении исправления ошибки. Однако новый способ проведения условного усреднения приводит к новым приращениям в описанных выше уравнениях для рекурсивных соотношений, так что

 

(251)

 

для полосы волновых чисел

 

,

 

где l¢ = |k¢ j¢| и Q¢ определено соотношением

 

, (252)

 

где h параметр, определяющий ширину полосы и связанный с масштабным множителем h формулой h = 1 h.

Вычисления, выполненные с помощью описанной процедуры, дают спектральную постоянную Колмогорова a = 1,60 ± 0,01 независимо от ширины полосы в области 0,25 £ h £ 0,45. Этот метод был применен к описанию конвекции пассивного скаляра [Уатт, 1991], где была получена перенормированная скалярная диффузия. В этих вычислениях была получена спектральная константа Обухова Коррзина b = 1,02 ± 0,01 для полосы 0,17 £ h £ 0,33. Соответствующие числа Прандтля равнялись 0,6 0,7.

Числа, которые появляются в этих вычислениях, являются хорошими, и количественное поведение такой RG теории, вообще говоря, удовлетворительно. Эти улучшения

рассмотренной итеративной теории усреднения можно приписать тому факту, что процедура исключения мод является рациональным приближением к уравнению Навье Стокса в том смысле, что все члены, которыми пренебрегли, имеют

порядок h2 или более высокий, где h безразмерный параметр, определяющий ширину полосы. Это показано на рис. 11, где представлено изменение постоянной Колмогорова в зависимости от h для старой теории итеративного усреднения и для двухполевой теории.

 

 

Рис.11. Сравнение постоянной Колмогорова , вычисленной

с помощью теории итеративного усреднения, с новыми

вычислениями, использующими двухполевую теорию,

в виде функции ширины полосы h

 

Несмотря на препятствия, возникающие в процессе приложения пертурбативной RG к уравнениям Навье Стокса, которые отмечались в работе МакКомба и Шанмугасундарама (1983), Жу и др. (1988) предположили, что метод Роуза (1977) может быть применен к полю скорости. Они показали, что член с тройным моментом является существенным при рассмотрении сильных взаимодействий в окрестности границы между исключаемыми и оставляемыми волновыми числами.

Их выражение для автомодельной вязкости отличается от всего, что было получено в какой-либо версии итеративного усреднения, и имеет вид

 

, (253)

 

хотя их форма рекурсивного соотношения совпадает с (246) (но отличается от (250)). Выражение для приращения вязкости задается в этом случае формулой

 

(254)

 

где волновые числа ограничены соотношениями

 

 

Это выражение для приращения существенно отличается от всего того, что было рассмотрено в предыдущих пунктах. Однако оно очень похоже на выражение Роуза (1977) для скалярного случая. В частности, второй член, который не имеет аналога в какой-либо форме итеративного усреднения, возникает из переразложения тройной нелинейности в каждом цикле итераций. Цена за это некоторая форма инвариантности, которую надо наложить на процедуру обрывания l-разложения для u в каждом цикле.

Особый интерес в этой работе представляет исследование влияния тройной нелинейности на перенос энергии. Перенос энергии и спектральная вихревая вязкость были проанализированы с помощью прямого численного моделирования, в котором вводилось искусственно обрезание на волновых числах kc, меньших максимальных разрешенных в численном анализе волновых чисел km. Таким способом было возможно оценить влияние мод в полосе kc < k < km на разрешенные масштабы, у которых k < kc. Уравнение энергии было сформировано из уравнений Навье Стокса обычным образом. Затем, введя T><(k) и T>>(k) для представления передачи энергии к моде k, возникающей за счет взаимодействия с одной или обеими модами выше параметра обрезания kc соответственно Жу и Вахала (1993), получили следующее:

1. T>>(k) отводит энергию из всех явных масштабов способом, который согласуется с идеей вихревой вязкости.

2. T><(k) управляет локальным потоком энергии через границу kc.

Соответствующие (по энергии) вихревые вязкости n><(k) и n>>(k) могут быть определены по T><(k) и T>>(k) для заданного спектра энергии E(k). Это делается с помощью соотношений

 

При этом было получено, что квадратичный вклад n>>(k) (несмотря на его различное определение) ведет себя как соответствующая вихревая вязкость из итеративного усреднения. Наоборот, качественно наиболее важная черта величины n><(k) заключена в очень резком ее увеличении при k ® kc.

Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов